國家質(zhì)檢總局福州培訓(xùn)中心  彭靖

　　一、問題的提出

　　在不等精度直接測量時，由各測量值x_i及其標(biāo)準(zhǔn)差σ_i計算加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差時，有兩個計算公式
    
　　式中:p_i——各測量值的權(quán)；σ_i——各測量值的標(biāo)準(zhǔn)差；σ——單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差；——加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。
　　但這兩個公式的計算結(jié)果有時會相差很大。那么，在這種情況下，采用哪個公式更為合理呢？本文對此從公式的推導(dǎo)到公式的選用進(jìn)行探討，并給出了一般性的原則。    

　　二、公式的數(shù)學(xué)推導(dǎo)

　　在不等精度測量時，各測量值的權(quán)的定義式為:
　　
　　測量結(jié)果的最佳估計值為:
　　
　　則測量結(jié)果的不確定度評定為:
　　對式(5)求方差有
　　
　　設(shè)各測量值x_i的方差都存在，且已知分別為，即D(x_i)=
　　由(4)式有=σ²/p_i
    
    
　　從公式(1)的推導(dǎo)，我們可以看出，此時各測量值的方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)必須是已知的。而在實(shí)際測量中，常常各測量值的方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)是未知的，無法直接應(yīng)用公式(1)進(jìn)行不確定度評定。但是，從分析來看，如果能由各測量值的殘差(其權(quán)等于測量值的權(quán))求出單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差的估計值，并將其代入公式(1)中，就可計算出加權(quán)算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的估計值。為此，作如下推導(dǎo):
    由殘差ν_i=x_i-  i=1，2，……n
    對ν_i單位權(quán)化
    
    由于v_i的權(quán)都相等，因而可設(shè)為1，故用v_i代替貝塞爾公式中的ν_i可得單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差的估計值
    
    將此式代入公式(1)，即得到加權(quán)算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的估計值
    
    從上面的推導(dǎo)我們可以看出，公式(1)是在各測量值的標(biāo)準(zhǔn)差已知時計算出的不等精度測量結(jié)果的不確定度的準(zhǔn)確值；而公式(2)是在各測量值的標(biāo)準(zhǔn)差未知時計算出的不等精度測量結(jié)果的不確定度的估計值。從概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識可知，只有在n→∞時，其單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差的估計值才能等于單位權(quán)的標(biāo)準(zhǔn)差，而由于測量次數(shù)的有限性和隨機(jī)抽樣取值的分散性，這兩者是不相等的，所以由公式(1)和公式(2)確定的不確定度的值是也不相同的。
    

三、公式選用的一般原則

    筆者用了較大的篇幅來進(jìn)行公式的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，主要是為了說明這兩個公式推導(dǎo)的前提是不一樣的，其應(yīng)用當(dāng)然也就不同。我們分兩種情況來進(jìn)行討論。
    1.各測量值的標(biāo)準(zhǔn)差未知時
    顯然，在這種情況下，由于其測量值的權(quán)是由其他方法得到的，而各測量值的標(biāo)準(zhǔn)差未知，無法應(yīng)用公式(1)來進(jìn)行不確定度評定，而只能用公式(2)。
    2.各測量值的標(biāo)準(zhǔn)差已知時
    當(dāng)已知測量值x_i和其標(biāo)準(zhǔn)差σ_i時，有兩種方法計算的標(biāo)準(zhǔn)差:第一種方法是用公式(1)進(jìn)行計算，第二種方法是用公式(2)進(jìn)行計算。前面已述這兩種方法在理論上是不相等的。兩種方法的區(qū)別是:第一種方法是根據(jù)已知的σ_i計算，沒有用到測量數(shù)據(jù)x_i。而第二種方法既用到了σ_i(確定權(quán))，也用到了測量數(shù)據(jù)x_i(計算殘差)。公式(2)是一個統(tǒng)計學(xué)公式，與觀測次數(shù)n有關(guān)，只有n足夠大，即觀測數(shù)據(jù)足夠多時，該公式才具有實(shí)際意義。所以，根據(jù)前面的推導(dǎo)分析，當(dāng)測量次數(shù)較少時，考慮到隨機(jī)抽樣取值的分散性，建議采用公式(1)進(jìn)行不確定度評定，當(dāng)測量次數(shù)較多時，采用公式(2)評定不確定度更能真實(shí)地反映出這一組數(shù)據(jù)的不確定度值，它包含了由隨機(jī)效應(yīng)引起的不確定度，也包含了由系統(tǒng)效應(yīng)引起的不確定度，因而更具有實(shí)驗(yàn)性質(zhì)。現(xiàn)在的問題是，測量次數(shù)究竟為多少時才是較少或較多呢？根據(jù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識，單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差與平均值的標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系為:，當(dāng)σ一定時，n>10以后，已減少得非常緩慢。所以常把n=10作為一個臨界值。綜上所述，當(dāng)測量次數(shù)n<10時，用公式(1)進(jìn)行計算效果較好；當(dāng)測量次數(shù)n≥10時，采用公式(2)來評定不確定度會更客觀一些。另外，還有一個問題值得注意:不等精度測量本來就是改變了測量條件的復(fù)現(xiàn)性測量，這些改變了的測量條件有可能帶來系統(tǒng)誤差。當(dāng)n足夠大時且本次測量條件與以前的測量條件變化不大時，兩個公式計算的結(jié)果應(yīng)近似相等。否則本次測量數(shù)據(jù)可能存在系統(tǒng)誤差。
    

四、實(shí)例

    [實(shí)例1]用國家基準(zhǔn)器在相同的條件下連續(xù)3天檢定某一基準(zhǔn)米尺，檢定的結(jié)果為999.9425mm(3次測量取平均值)，999.9416mm(2次測量取平均值.雪，999.9419mm(5次測量取平均值)，試求最終的檢定結(jié)果。
    [解]由于測量條件相同，3天里的10次測量是等精度的。3個檢定結(jié)果所以精度不等，是因?yàn)槊刻鞙y量的次數(shù)不同，所以其權(quán)為:
    p₁:p₂:p₃=σ²/n₁:σ²/n₂:σ²/n₃=3:2:5
    所以，加權(quán)算術(shù)平均值為:
    
    因各測量值的標(biāo)準(zhǔn)差未知，故σ_x應(yīng)按公式(2)估算，所以
    
    [實(shí)例2]對某物理量進(jìn)行9次直接測量，數(shù)據(jù)見下表，評定測量結(jié)果的不確定度。
    

    [解](1)計算各測量值的權(quán):
    由式(4)知
    p_i=σ²/
    令單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差σ=50，則各測量值的權(quán)為:
    p₁:p₂:p₃:p₄:p₅:p₆:p₇:p₈:p₉
=1:1:1:1.93:12.8:2.97:4.34:2.78:4.73
    (2)計算最佳估計值:
    
    (3)計算的標(biāo)準(zhǔn)差:
    第一種方法；用公式(1)計算
    
    第二種方法:用公式(2)計算
    
    從本例看，兩種方法計算的結(jié)果相差較大。依據(jù)第三節(jié)的原則，該例采用第一種方法計算的結(jié)果為好。從對觀測列的分析來看，x_max-x_min=132，取值很分散，似有系統(tǒng)誤差存在。當(dāng)系統(tǒng)誤差大于隨機(jī)誤差時，測量值的變化規(guī)律會明顯地為系統(tǒng)誤差所左右，因而無法用統(tǒng)計的方法得到正確的測量結(jié)果，原有的測量值也就失去了意義。要有效地提高測量準(zhǔn)確度，必須認(rèn)真分析測量過程中系統(tǒng)效應(yīng)的影響，并采取措施，減小或消除其影響。